Визначення ін'єкційної функції

У контексті математики функція називається зв'язком, що розвивається між двома множинами, через які кожному елементу множини присвоюється один елемент іншого набору або відсутній. Ідея ін'єкційного або ін'єкційного , з іншого боку, натякає на властивість, яка стверджує, що два різних елемента першого набору відповідають двох різних елементів другого набору.

Таким чином, ін'єкційна функція полягає в тому, що для різних елементів початкового множини ( області ) відповідають різним елементам кінцевого множини (кодомена). Це означає, що кожен елемент кодомена має не більше одного прообразу в області: або, виражене іншим способом, що кожен елемент домену не може мати більше одного зображення в кодомене .

Вираз ін'єкційної функції f: x -> y . Візьмемо випадок множини X, утвореного Аргентиною , Швейцарією та Нігерією , і набором Y, що складається з Америки , Європи та Африки . Якщо ми хочемо встановити зв'язок між кожною країною та її відповідним континентом, ми отримаємо ін'єкційну функцію, оскільки посилання будуть наступними:

Аргентина -> Америка
Швейцарія -> Європа
Нігерія -> Африка

При згаданих множинах і зазначеному співвідношенні елементи першого набору ( країни ) ніколи не могли б відповідати більш ніж одному зображенню у другому наборі (континентах). Аргентина належить Америці , а не Європі чи Африці . Швейцарія , зі свого боку, єдина в Європі (не в Америці чи Африці ). Нігерія , нарешті, є однією частиною Африки , не будучи в Америці або в Європі . У цьому випадку, коротше кажучи, обидва набори пов'язані ін'єкційною функцією.

Давайте розглянемо нижче приклад, в якому не виконуються вимоги до функції, яка вважається ін'єкційною. Такий випадок має функцію, яка допускає всі дійсні числа і визначається як f (x) = xx : з урахуванням того, що можна використовувати як негативні, так і позитивні числа для заміни змінної x , кожен результат (який за згодою представлений) з змінною y ) вона може бути отримана з будь-яким числом і її протилежністю, наприклад 8 і -8 (для обох, результат 64 ).

Це неможливо з такими прикладами, як такі, що стосуються країн і їх континентів, але це не означає, що поза математики немає менш жорстких відносин або, так би мовити, більш гнучких. Якщо ми думаємо про набір, в якому перераховані імена десяти людей, і інше, його кодомен, в якому знаходяться деякі його друзі, можливо, що для кожного елемента другого буде більше одного домену.

Повертаючись до області чисел, якщо ми хочемо змінити попередню функцію так, щоб вона стала ін'єкційною, ми повинні обмежувати домен тільки до позитивних дійсних чисел: таким чином, елемент одного з наборів ніколи не буде пов'язаний з більш ніж одним іншого.

Формальне визначення ін'єкційної функції наступне: f: X -> Y є ін'єкційним, тільки якщо для елементів множини X a і b переконано, що f (a) дорівнює f (b), коли a дорівнює b . Іншими словами, функція також є ін'єкційною, якщо, коли елементи різні, так само їхні зображення .

З іншого боку, якщо ми маємо дві множини, між якими існує ін'єкційна функція, то ми говоримо про потужність, коли для елементів першого вони менше або дорівнюють їхнім зображенням. Якщо друга функція пов'язує множини в протилежному напрямку, то можна сказати, що існує однобічне застосування між множинами.

border=0

Пошук іншого визначення